Sistem Numerik Berdasarkan Penambahan

Sistem numerik yang paling sederhana adalah Sistem numerik unary. Sistem ini sering dipakai untuk melakukan pemilihan pada suatu voting. Contoh dari Sistem numerik Unary adalahTally mark. Kerugiann penggunaan dari sistem numerik Unary adalah sistem ini membutuhkan tempat yang besar.

Selain sistem numerik unary, contoh lain dari sistem numerik berdasarkan penambahan adalah angka Romawi.

I 1 V 5 X 10 L 50 C 100 D 500 M 1000

Angka Romawi dituliskan dengan simbol dari angka yang tersedia kemudian ditambahkan atau dikurangkan.

Sebagai contoh adalah 1970 disimbolkan dalam angka romawi dengan MCMLXX. Simbol Mmerepresentasikan angka 1000. Simbol CM merepresentasikan 900, hal ini dikarenakan oleh peraturan dalam penulisan angka romawi, yang tidak diperkenakan pengulangan suatu simbol lebih dari tiga kali. Jadi apabila 900 dituliskan dengan simbol DCCCC maka penulisan tersebut salah. Simbol C disebelah kiri atau sebelum M merupakan angka pengurang dari angka sesudahnya, jadi CM = 1000-100 = 900. Simbol selanjutnya adalahLXX yang melambangkan angka 70.

Angka Romawi ini digunakan di Eropa sampai dengan abad ke 15. Kekurangan dari sistem ini adalah tidak adanya angka Nol.

Sistem Numerik Berdasarkan Posisi

Didalam sistem numerik ini, penulisan angka berdasarkan posisi dan basis. Posisi suatu angka dalam sistem ini menentukan nilai dari bilangan yang diwakilinya. Maka notasi yang digunakan disebut notasi posisional. Sistem numerik berdasarkan posisi yang sangat terkenal dan dipakai paling luas adalah sistem bilangan desimal. Sistem desimal ini merupakan sistem numerik berdasarkan posisi yang berbasis 10. Simbol 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 adalah bagian dari sistem desimal. Sebagai contoh 612, angka ini berarti:

2 × 100 = 2 × 1 = 2
1 × 101 = 1 × 10 = 10
6 × 102 = 6 × 100 = 600


Basis eksponen

Selain sistem desimal yang digunakan sehari-hari, terdapat pula sistem lainnya, yaitu:

* Sistem biner, berbasis 2,
* Sistem oktal, berbasis 8,
* Sistem heksadesimal, berbasis 16,
* Sistem seksagesimal, berbasis 60,
* dan sistem numerik berbasis lainnya.

Seluruh sistem di atas menggunakan eksponen. Berarti setiap angka pada posisi tertentu, nilainya adalah sebesar angka tersebut dikalikan basisnya dipangkatkan posisinya.

a_na_{n-1}...a_2a_1a_0 = \sum^{n}_{i=0}a_i\times b^{i}


Faktoradik

Faktoradik adalah sebuah sistem bilangan yang setiap posisi angka memiliki basis sesuai dengan faktorial dari posisinya. Sistem bilangan ini memungkinkan untuk membangkitkan permutasi dalam urutan leksikografik.

Faktoradik memiliki bentuk deretan bilangan an...a4a3a2a1a0, dengan setiap bilangan ai bersifat:

a_i \in \mathbb{N}

dan

0 \leq a_i \leq i



Nilai faktoradik

Nilai sebuah faktoradik an...a4a3a2a1a0 dapat dengan mudah didapat menggunakan formula:
\sum_{i=0}^n a_i.i!

Sebagai contoh, bilangan 2,1,1,1,0

Posisi setiap bilangan, sama seperti pada sistem bilangan posisional lainnya, dinomori mulai dari 0 dari sebelah kanan.

Bilangan ke 5 4 3 2 1 0
Bilangan 0 2 1 1 1 0
Faktorial 120 24 6 2 1 1

Sehingga nilainya adalah sebesar: 2×4! + 1×3! + 1×2! + 1×1! + 0×0! = 57

Di bawah ini adalah daftar 24 faktoradik pertama beserta nilainya:

Faktoradik Nilai Faktoradik Nilai Faktoradik Nilai Faktoradik Nilai
0, 0, 0, 0 0 1, 0, 0, 0 6 2, 0, 0, 0 12 3, 0, 0, 0 18
0, 0, 1, 0 1 1, 0, 1, 0 7 2, 0, 1, 0 13 3, 0, 1, 0 19
0, 1, 0, 0 2 1, 1, 0, 0 8 2, 1, 0, 0 14 3, 1, 0, 0 20
0, 1, 1, 0 3 1, 1, 1, 0 9 2, 1, 1, 0 15 3, 1, 1, 0 21
0, 2, 0, 0 4 1, 2, 0, 0 10 2, 2, 0, 0 16 3, 2, 0, 0 22
0, 2, 1, 0 5 1, 2, 1, 0 11 2, 2, 1, 0 17 3, 2, 1, 0 23


Mendapatkan Faktoradik dari Sembarang Bilangan

Suatu faktoradik bisa diperoleh dari sembarang bilangan n dengan algoritma sebagai berikut:

1. Cari i! terbesar di mana i! < n
2. Bagi n dengan i!, akan didapatkan hasil bagi d dan sisa bagi m.
3. d adalah digit faktoradik ke-i, yaitu ai
4. Ulangi dari langkah kedua, dengan m(sisa bagi) menggantikan n, dan i − 1menggantikan i.
5. Algoritma selesai jika i sudah mencapai 0.

Ketika berakhir, algoritma ini akan menghasilkan deretan faktoradikan...a4a3a2a1a0.